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LTC・式不足

2020年8月7日頃の,ランチタイムチャレンジ問題。
ランチタイムに数学の彩りを♪♪
質問が多かった問題なので、解説をば・・・
$x,\,y,\,z$は互いに異なる3つの実数で、$x+\displaystyle \frac{1}{y}=y+\displaystyle \frac{1}{z}=z+\displaystyle \frac{1}{x}$ が成り立つものとする。このとき、上の等式の各辺に共通の値を求めよ。
【ヒント】
3文字2式なので、何か特別なことでもなければ解けません。さて、何が起こる??

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