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北里大学|医学部|数学|オススメ問題

北里大学医学部入試での記述式答案の書き方の練習にいかがでしょうか。

実数全体を定義域とする関数$f(x)$は奇関数で微分可能であるとする。さらに,$f'(x)$も微分可能で$f'(0)=0$を満たし,$x>0$の範囲で$f^{\prime\prime}(x)>0$であるとする。$y=f(x)$のグラフを$C_1$,$C_1$を$x$軸方向に$a$,$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする。ただし,$a$は正の定数とする。
(1) $f(0)$の値を求めよ。
(2) $f'(x)$は偶関数であることを示せ。
(3) $C_1$と$C_2$の共有点の個数が2個であることを示し,その2点の$x$座標を求めよ。
(4) $C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする。$a$が$0<a\leqq 3$の範囲を動くとき,$S(a)$を最大にする$a$の値を求めよ。

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