聖マリアンナ医科大学｜医学部｜数学｜予想したい！（その１）

聖マリ医学部の試験を明日に控えて、
・・・ずっとやりたかった「問題予想」の
タイムリミットが待ったなし！！

ということで作業しますよ。

まず分析

2020

【３】解けない漸化式の極限。定番。医学部受験生なら常識にしておきたい。
【４】$a,b$が互いに素の自然数のとき、$ax+by=1$を満たす整数$x,\,y$が存在する・・・ということに関する問題を含む。証明に「鳩ノ巣の原理」が用いられることでも知られている。
(5)は、一般化するとフェルマー小定理と言われる定理になるけど、$p=7$なのでとても簡単。

フェルマー小定理というのは↓

$p$素数，$a$は$p$の倍数でない整数のとき，
$a^{p-1}\equiv 1 (\mod p)$

コレ自体も別に難しくもなくて、
ちょっとした整数問題の題材にされる。

↓ここに素晴らしい解説記事が！

https://mathtrain.jp/fermat_petit

気になるのはここかなぁ・・・

$p$が素数で、$k$が$1\leqq k\leqq p-1$を満たす整数のとき，
$_p{\rm C}_k$が$p$の倍数であることを示せ。

証明はパズル的で簡単です。

https://mathtrain.jp/fermat_petit

の中にも書いてある。２行で！

類題　2018年名古屋大学

$p$を素数，$a,\,b$を整数とする。このとき，次の問に答えよ。
(1) $(a+b)^p-a^p-b^p$は，$p$で割り切れることを示せ。
(2) $(a+2)^p-a^p$は偶数であることを示せ。
(3) $(a+2)^p-a^p$を$2p$で割ったときの余りを求めよ。

(1)が、まさにそれがネタ。
$_p{\rm C}_k$が$p$の倍数であることを示すことにほかならない。