2022年度も オンライン数学レッスンを実施します♪

コツコツ確率(1)

【1】 さいころを$n$ 回投げて出た目を順に$a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,a_n$とする。

(1) $n=4$のとき,$a_1<a_2<a_3<a_4$となる確率を求めよ。

(2) $a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq \cdots \leqq a_n$となる確率を求めよ。

【コメント】

(1)は$n=4$なので,数え上げても大したことはありませんね。(2)は一般の$n$となるので,工夫して数えないといけません。

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【解答】

全体は$6^n$通り。

(1) 条件(分子)は,出る目を数えればよい。

$\frac{_6 {\rm C}_4}{6^4}=\frac{5}{432}$

(2) 1,2,3,4,5,6の目が出る回数をそれぞれ$回とする。

このとき,$a+b+c+d+e+f=n$

(ただし$(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)$は$0\leqq a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f\leqq n$を満たす整数)

が成り立つ。

条件(分子)は,$n$個のボールを6人に分ける=5ヶ所で仕切る方法と同じ。

$\frac{(n+5)!}{n! \cdot 5!}=\frac{(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2\cdot 1}$通り

よって,求める確率は,$\frac{(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{120 \cdot 6^n}$

 

 

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