【１】 さいころを$n$ 回投げて出た目を順に$a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,a_n$とする。
(1) $n=4$のとき，$a_1<a_2<a_3<a_4$となる確率を求めよ。
(2) $a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq \cdots \leqq a_n$となる確率を求めよ。
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【コメント】
(1)は$n=4$なので，数え上げても大したことはありませんね。(2)は一般の$n$となるので，工夫して数えないといけません。
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【解答】
全体は$6^n$通り。
(1) 条件（分子）は，出る目を数えればよい。
$\frac{_6 {\rm C}_4}{6^4}=\frac{5}{432}$
(2) 1,2,3,4,5,6の目が出る回数をそれぞれ$回とする。
このとき，$a+b+c+d+e+f=n$
（ただし$(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)$は$0\leqq a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f\leqq n$を満たす整数）
が成り立つ。
条件（分子）は，$n$個のボールを6人に分ける＝5ヶ所で仕切る方法と同じ。
$\frac{(n+5)!}{n! \cdot 5!}=\frac{(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2\cdot 1}$通り
よって，求める確率は，$\frac{(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{120 \cdot 6^n}$
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